足球比赛(d)题解

admin 赛事百科 2024-02-12 19 0

  很高兴为您提供 Mathor Cup 2022 D 题的解题思路。

题目描述:

给定一个 $n imes n$ 的矩阵 $A$,其中 $A_{i,j}in{0,1}$。你可以进行任意次以下操作:

1. 将第 $i$ 行取反(即 $A_{i,j}大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!

  ightarrow 1-A_{i,j}$);

2. 将第 $j$ 列取反(即 $A_{i,j}

  ightarrow 1-A_{i,j}$)。

请你计算通过若干次操作后,能够使得矩阵 $A$ 的每一行和每一列的 $1$ 的个数相等的最小操作次数。

解题思路:

本题可以使用贪心和二分图匹配的思想来解决。具体步骤如下:

1. 统计每一行和每一列的 $1$ 的个数,设 $row_i$ 表示第 $i$ 行的 $1$ 的个数,$col_j$ 表示第 $j$ 列的 $1$ 的个数。

2. 如果每一行和每一列的 $1$ 的个数都相等,那么无需进行任何操作,直接输出 $0$。

3. 如果某一行 $i$ 的 $1$ 的个数多于其他行的 $1$ 的个数,那么可以将该行取反,将 $row_i$ 减一,将 $col_j$ 加一。

4. 如果某一列 $j$ 的 $1$ 的个数多于其他列的 $1$ 的个数,那么可以将该列取反,将 $col_j$ 减一,将 $row_i$ 加一。

5大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!. 重复步骤 3 和步骤 4,直到每一行和每一列的 $1$ 的个数都相等。大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!

6. 计算进行的操作次数,输出结果。

需要注意的是,为了避免重复计算,我们可以使用二分图匹配的思想来进行操作。将每一行和每一列看做二分图的两个部分,如果某一行 $i$ 的 $1$ 的个数多于其他行的 $1$ 的个数,那么可以将第 $i$ 行和所有 $1$ 的个数比该行少的列建立一条边;如果某一列 $j$ 的 $1$ 的个数多于其他列的 $1$ 的个数,那么可以将第 $j$ 列和所有 $1$ 的个数比该列少的行建立一条边。最后,将二分图的最小路径覆盖数乘以 $2$ 就是最小操作次数。

时间复杂度:$O(n^3)$。

完整代码:

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