足球比赛（d）题解

　　很高兴为您提供 Mathor Cup 2022 D 题的解题思路。

题目描述：

给定一个 $n imes n$ 的矩阵 $A$，其中 $A_{i,j}in{0,1}$。你可以进行任意次以下操作：

1. 将第 $i$ 行取反（即 $A_{i,j}大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!

　　ightarrow 1-A_{i,j}$）；

2. 将第 $j$ 列取反（即 $A_{i,j}

　　ightarrow 1-A_{i,j}$）。

请你计算通过若干次操作后，能够使得矩阵 $A$ 的每一行和每一列的 $1$ 的个数相等的最小操作次数。

解题思路：

本题可以使用贪心和二分图匹配的思想来解决。具体步骤如下：

1. 统计每一行和每一列的 $1$ 的个数，设 $row_i$ 表示第 $i$ 行的 $1$ 的个数，$col_j$ 表示第 $j$ 列的 $1$ 的个数。

2. 如果每一行和每一列的 $1$ 的个数都相等，那么无需进行任何操作，直接输出 $0$。

3. 如果某一行 $i$ 的 $1$ 的个数多于其他行的 $1$ 的个数，那么可以将该行取反，将 $row_i$ 减一，将 $col_j$ 加一。

4. 如果某一列 $j$ 的 $1$ 的个数多于其他列的 $1$ 的个数，那么可以将该列取反，将 $col_j$ 减一，将 $row_i$ 加一。

5大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!. 重复步骤 3 和步骤 4，直到每一行和每一列的 $1$ 的个数都相等。大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!

6. 计算进行的操作次数，输出结果。

需要注意的是，为了避免重复计算，我们可以使用二分图匹配的思想来进行操作。将每一行和每一列看做二分图的两个部分，如果某一行 $i$ 的 $1$ 的个数多于其他行的 $1$ 的个数，那么可以将第 $i$ 行和所有 $1$ 的个数比该行少的列建立一条边；如果某一列 $j$ 的 $1$ 的个数多于其他列的 $1$ 的个数，那么可以将第 $j$ 列和所有 $1$ 的个数比该列少的行建立一条边。最后，将二分图的最小路径覆盖数乘以 $2$ 就是最小操作次数。

时间复杂度：$O(n^3)$。

完整代码：